わからん複素数の存在意義

数学のお話し。
相変わらず、自身では通常の位置座標系と複素数平面の橋渡しが謎のままです。

高校数学の面白い講義動画を見ました。
通常の座標系をこの世、複素数平面をあの世と表現する先生です。
通常のxy平面をそのまま実数-虚数平面に対応させるもので、
複素数で便利な回転処理がオイラー先生の公式で簡単に表現できてしまう。
前後を見ていないのでどのように複素数を導入したか分かりませんが
周知のことして扱っているようです。
私の場合は、35年前授業で、虚数単位の定義、複素数平面の導入、複素共役などの性質などが突然始まりました。理系数学で脱落者が出始めたのはまさにイマジナリーな考え方の導入でした。
ただツールとしては非常に便利で、xy平面に2点与えられた√2や√3が入ったいかにもな座標。
この2点間の線分を1辺とする正三角形のもう1つの頂点を求めるのが例としていました。
x成分を実数、y成分を虚数として線分を±60°回転させて答えの頂点を得る、という解法でした。

余談の1文：友人の天才プログラマのグラフィック講義動画でも初めて知ったのですが、複素数平面の考え方は回転、拡大縮小については得意ですけど平行移動だけは苦手、計算できない訳じゃないけど式や処理が煩雑になるとのこと。

その動画の数学の先生はこの世の座標を、あの世の座標に置き換えてあの世のルールで処理をしてこの世に戻す、というような流れの説明でした。
素人目のツッコミとして、この世(xy平面)とあの世(複素数平面)の行き来を自由にして良いのか？というところがまずあります。予想的には同じ平面座標なので点の座標は同じとして扱って良いのだろうと。

専門は電子工学ですけど電「気」工学や電磁気学も知らないといけません。
回路の電流がサイン波でプラスマイナス行ったり来たりするのが交流とか電波に当たるのですが、これが複素関数との整合性がバッチリ。
電流を"i"で表すので混同しないように虚数単位を"j"で表すしきたり。通常交流を扱うのでサインコサインの入ったオイラー公式はネイピア数"e"で表しちゃったほうが楽。キャパシタ（コンデンサという部品）、インダクタ（いわゆるコイル）が入ると電流と電圧に位相差ができるので角度で表せてこれも相性抜群。
ツールとして複素関数は非常に便利。

便利は良いんですが、平面・空間座標と複素数座標の相関が相変わらずの謎のまま。

では。